Estudo das matrizes

31 de Outubro de 2009 às 15:15 | Publicado em Matemática | Deixe um comentário

MATRIZES

O que é uma matriz?

matrizes são como tabelas em que tem linhas e colunas, a

coordenada de uma matriz é definida por linha e coluna.

Elementos básicos para a construção de matrizes

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N={1,2,3,4,5,6,7,…}

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da

forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:

N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:

Smn={(i,j): 1<i<m,

1<j<n}

 

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no

conjunto Smn associa um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma

matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números

reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

a(1,1) a(1,2) a(1,n)
a(2,1) a(2,2) a(2,n)
a(m,1) a(m,2) a(m,n)

 

Definições básicas sobre matrizes

  1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos

    que a ordem da matriz é m×n.

  2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de

    cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).

  3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos

    seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].

  4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é

    indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.

  5. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas

    igual ao número de colunas, i.e., m=n.

  6. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n

    é indicada pelos n elementos:

    a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), …, a(n-1,2),

    a(n,1)

  7. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da

    diagonal principal.

  8. Matriz real é aquela que tem números reais como

    elementos.

  9. Matriz complexa é aquela que tem números complexos como

    elementos.

  10. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos

    iguais a zero.

  11. Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da

    diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.

  12. Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos

    nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal

    podem ser nulos.

 

Exemplos de matrizes

Matriz 4×4 de números reais:

12 -6 7 18
-23 -24 0 0
0 0 5 0
0 0 0 9

Matriz 4×4 de números complexos:

12 -6+i 7 i
-i -24 0 0
0 0 5+i 5-i
0 0 0 9

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

0 0
0 0

Matriz nula com três linhas e duas colunas:

0 0
0 0
0 0

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

23 0 0 0
0 -56 0 0
0 0 0 0
0 0 0 100

 

Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma

ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais,

isto é:

a(i,j) = b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.

 

Exercício: Determinar os valores

de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

1 2
3 4
=
x-1 y-1
x+y x2

 

Soma de matrizes e suas propriedades

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e

B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:

c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B

é a terceira matriz indicada abaixo.

-23 10
7 9
+
10 5
8 9
=
-13 15
15 18

 

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer

matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer

matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma

matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a

própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada

matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas

fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A) = 0

 

Multiplicação de escalar por matriz e

suas propriedades

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz.

Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz

C=k.A, definida por:

c(i,j) = k. a(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exemplo: A multiplicação do

escalar -4 pela matriz A, definida por:

-4
-2 10
7 9
=
-8 -40
28 36

 

Propriedades da multiplicação de

escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1:

A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz

A, isto é:

1.A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero:

A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula,

isto é:

0.A = 0

E3: Distributividade das matrizes:

Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A + k B

E4: Distributividade dos escalares:

Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p + q) A = p A + q A

 

Multiplicação de matrizes

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz

B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra

matriz C=A.B, definida por:

c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) +

… + a(u,m) b(m,v)

para todo par (u,v) em Smr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da

matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

  1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
  2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
  3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
  4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
  5. somar os quatro produtos obtidos anteriomente.

Assim:

c23 = a21 b13

+ a22 b23 + a23 b33 + a24

b43

Podemos visualizar esta operação através das

matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna

em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
×
b11
b12
b13
b14
b21
b22
b23
b24
b31
b32
b33
b34
b41
b42
b43
b44
=
c11
c12
c13
c14
c21
c22
c23
c24
c31
c32
c33
c34
c41
c42
c43
c44

Observação: Somente podemos

multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número

de linhas da segunda.

 

Propriedades da multiplicação de

matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser

multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade:

Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A

está cor vermelha e B em cor preta:

1 2 3
2 4 6
3 6 9
×
1 2
3 5
7 9

M2: Distributividade da soma à direita

A (B+C) = A B + A C

M3: Distributividade da soma à esquerda

(A + B) C = A C + B C

M4: Associatividade

A (B C) = (A B) C

M5: Nulidade do produto: Pode

acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0,

embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

0 1
0 0
×
0 2
0 0
=
0 0
0 0

M6: Nem sempre vale o cancelamento:

Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois

existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

0 1
0 0
×
0 5
0 0
=
0 2
0 0
×
0 5
0 0

mas as matrizes A e B são diferentes.

 

Matrizes com propriedades especiais

  1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:

    Ak = 0

  2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:

    Ak+1= A

  3. Uma matriz A é idempotente, se:

    A2 = A

  4. As matrizes A e B são comutativas, se:

    A B = B A

  5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:

    A B = – B A

  6. A matriz identidade Id multiplicada por toda

    matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.

    Id A = A

  7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:

    A B = Id  e  B A = Id

 

A transposta de uma matriz e suas

propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos

a transposta da matriz A como a matriz

At = [a(j,i)]

e segue que as linhas de A se transformam nas

colunas de At.

 

Propriedades das matrizes

transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a

própria matriz.

(At)t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por

uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.

(kA)t = k (At)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma

das transpostas dessas matrizes.

(A + B)t = At + Bt

T4: A transposta do produto de duas matrizes é

igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

(A B)t = Bt At

 

Matrizes simétricas e anti-simétricas e

suas propriedades

Uma matriz A é simétrica se é uma

matriz quadrada tal que:

At = A

Uma matriz A é anti-simétrica se é

uma matriz quadrada tal que:

At = -A

 

Propriedades das matrizes

simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então

para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a

matriz B=A+At é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a

matriz B=A-At é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A

sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz

anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:

S =(1/2)(A + At)  e  T

=(1/2)(A – At)

———————————————————

CALCULOS COM MATRIZES

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz,

independentemente da operação utilizada.

Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do

que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em

linhas e colunas.

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento

vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B

de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será

representado por b12.

►Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado

dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como

resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C

somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim:

a11 + b11

= c11.

Exemplos:

Dada a matriz A=

3

x 3 e matriz B=

3

x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+

=

3

x 3

Observe os elementos em destaques:

a13 = – 1 e b13 = – 5 ao somarmos esses elementos

chegaremos a um terceiro que é o

c13 = -6. Pois

-1 + (-5) = -1 – 5 =

– 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32,

tivemos que somar a32 + b32.  Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = – 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

►Subtração

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a

diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:

Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra

matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os

elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim:

a21 – b21

= c21.

Exemplos:

Dada a matriz A =

3

x 3 e B =

3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

=

3

x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a13 – b13 = c13,

-1 – (-5) = -1 + 5 =

4

Quando subtraímos a31 – b31 = c31,

– 4 – (-1) = -4 + 1 =

-3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

 ————————————-

MATRIZ TRANSPOSTA

Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada

por At de ordem “invertida” n x m.

Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz em matriz

transposta, basta trocar os elementos das linhas pelo das colunas e vice-versa.

Veja o exemplo:

Dada a matriz A =

3

x 2, a matriz transposta representada por At, será:

At =

2 x 3.

Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta At foi

invertida, o que era linha virou coluna e o que era coluna virou linha.

Veja mais um exemplo:

Dada a matriz B =

3 x 3, a matriz transposta representada por

Bt, será:

Bt =

3

x 3

Observamos que quando temos uma matriz quadrada a sua matriz transposta terá

a mesma ordem o que irá diferenciar uma da outra é a disposição das linhas e

colunas.

►Matriz simétrica

É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = At). Ou seja,

os elementos da diagonal principal de A e At são iguais.

Dada a matriz A =

2

x 2, a sua transposta é At =

 .

 

—————————————

DETERMINANTES

Toda raiz quadrada pode ser associada a um número real chamado determinante

da matriz.

Determinantes de ordem 1, 2 e 3

O determinante de ordem 1 é indicada pelo próprio número. Ex.

Se A= (2), então det. 

O determinante de ordem 2 é indicada pela igualdade da diferença entre o

produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Ex.

O determinante de ordem 3 é definido por:

Menor Complementar

O menor complementar é o determinante da matriz quadrada que se obtém

eliminando a linha i e a coluna j. Ex.

Cofator

Cofator é o produto

 Ex.

Determinante de ordens quaisquer

Se a determinante de uma matriz quadrada de ordem qualquer, pode-se definir:

• Se n = 1, o determinante é o próprio elemento da matriz. Ex.

• Se n ≥ 2, o determinante é a soma dos produtos de uma fila qualquer. Ex.

Usando o Teorema de Laplace podemos resolver o determinante:

Propriedades dos Determinantes

• O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua matriz

transposta. Ex.

• Se uma fila da matriz tiver seus elementos iguais a zero, o determinante

será zero. Ex.

• Se multiplicarmos os elementos de uma fila da matriz a um determinado

número, o determinante da nova matriz será igual ao número multiplicado pelo

determinante da primeira matriz.

• Se uma matriz é originada de outra matriz de ordem n ≥ 2, troca-se de

posição duas filas paralelas. Ex.

• Se a matriz quadrada possui duas filas paralelas iguais, seu determinante é

zero. Ex.

• Se em matrizes quadradas houver elementos de mesma posição iguais, exceto

de uma fila, os elementos da fala desigual corresponde à soma dos elementos das

outras matrizes. Ex.

• Se matrizes quadradas de mesma ordem, então: Ex.

• Se todos os elementos do mesmo lado da diagonal principal forem iguais a

zero, o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos da diagonal

principal. Ex.

Cálculo de Matriz Inversa por Determinante

Se uma matriz obtem outra matriz que substitui cada elemento pelo seu

cofator, é chamado de matriz dos cofatores da matriz. A matriz transposta é a

matriz adjunta.

Se

a matriz tiver o determinante ≠ 0 temos:

Ex.

Portanto, A’ =

como

det.A= -6, temos:

 

————————————————–

SISTEMAS LINEARES

Equação Linear

Equação linear é toda equação da forma ax + by = c, onde a e b são os

coeficientes e c é o temo independente. Toda equação linear ax + by = c, com a ≠

0 ou b ≠ 0, admite infinitas soluções.

Sistema Linear

O sistema de duas equações lineares simultâneas nas incógnitas x e y é um

conjunto de duas equações lineares simultâneas em x e y:

Considerando

o par (x ; y): (α; β) é solução de (S) ↔

(S) pode ser possível e determinado (solução única), possível e indeterminado

(infinitas soluções) ou impossível (não existem soluções). Ex.

admite

para solução apenas o par (3; 4), logo S é possível e determinado.

dividindo

os membros da segunda equação por -3, obtemos par ordenado ( α; α-1), com α R,

é solução de (S). Logo, S é possível e indeterminado.

não

pode ter valores diferentes de 3 e 10. Portanto S é impossível.

Resolução de Sistemas Normaiss

Regra de Cramer

<pTodo sistema normal tem uma única solução dada por: Xi = Dxi /D em que i
pertence a { 1, 2, 3, …, n} , D = detA é o determinante da matriz incompleta

associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na

matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Ex.

Solução::

<pM = n = 3

Equivalentes e Escalonadoss

Sistemas Equivalentes

<pSão equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Trocando as
equações de posição, obtemos outro sistema equivalente. Ex.

Multiplicando uma ou mais equações por um número k, obtemos um sistema

equivalente ao anterior. Ex.

Adicionando o produto de outra equação a uma das equações desse mesmo sistema

por um determinado número, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Ex.

e

substituindo a equação II pela soma do produto de I por -1 com II obtemos:

Sistemas Escalonadoss

<pPara escalonar um sistema fixamos como primeira equação uma das que possuem o
coeficiente da primeira incógnita diferente de zero. Utilizando as propriedades

de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita

das demais equações. Anulamos todos os coeficientes da segunda incógnita a

partir da terceira equação, repetimos o processo com as demais incógnitas, até

que o sistema se torne escalonado. Ex.

Trocamos de posição a primeira equação com a segunda equação, de modo que o

primeiro coeficiente de x seja igual a 1::

anulamos

todos os coeficientes da primeira incógnita a partir da segunda equação,

aplicado as propriedades dos sistemas equivalentes.

anulamos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação.

O sistema está escalonado. Como m = n e a última equação -2z = -6 tem solução única, o sistema é possível e determinado.

———————————————-

Tirei esse texto do BRASIL ESCOLA, Na próxima explicação deixarei aqui sobre determinantes ideal para 2 e 3 ano do ensino médio.

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