Determinantes

31 de Outubro de 2009 às 15:26 | Publicado em Matemática | Deixe um comentário

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou
seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de
determinante
.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

  • resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
  • cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são
    conhecidas as coordenadas dos seus vértices;



Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada
de 1ª ordem M=[a11],

o seu determinante é o número real a11:

det M
=Ia11I

= a11


Observação:

Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não

têm o significado de módulo.

Por exemplo:

  • M= [5]

    det

    M = 5 ou I 5 I = 5

  • M =
    [-3]

    det

    M = -3 ou I -3 I = -3



Determinante de 2ª ordem


Dada a

matriz

,

de ordem 2, por definição o determinante associado a M,
determinante de

2ª ordem, é dado por:

Portanto,
o determinante de uma

matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da

diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o

exemplo a seguir.



Menor

complementar


Chamamos de

menor complementar relativo a um elemento aij

de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante
MCij

, de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M
quando

suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .

Vejamos como determiná-lo
pelos exemplos a

seguir:

a)
Dada a matriz

,

de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11),

retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma
forma, o menor complementar

relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo

,

de ordem 3, temos:



Cofator


Chamamos de

cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento
aij

de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij

tal que  Aij = (-1)i+j . MCij .


Veja:

a)
Dada

,

os cofatores relativos aos elementos a11 e a12

da matriz M são:

b) Sendo

,

vamos calcular os cofatores A22, A23
e A31:



Teorema de Laplace

O determinante de uma
matriz quadrada M = [aij]mxn

pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (

linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando

,

temos:

em que

é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até
m,

.

 



Regra de Sarrus

O
cálculo

do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático,

denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos
essa regra para


.

 


1º passo
:

Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:


passo
: Encontramos a soma

do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos

obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma

deve ser precedida do sinal positivo):


passo
: Encontramos a soma

do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos

obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma

deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:


Observação: Se desenvolvermos esse

determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo

número real.

 



Determinante de ordem n > 3

Vimos
que a regra de Sarrus é válida para o

cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem

superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes

de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

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